Matemática discreta Ejemplos

$s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$

Paso 1

Escribe $s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$ como una ecuación.

$y = x (x^{2} - \frac{8}{x})$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = y (y^{2} - \frac{8}{y})$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y (y^{2} - \frac{8}{y}) = x$ .

$y (y^{2} - \frac{8}{y}) = x$

Paso 3.2

Simplifica $y (y^{2} - \frac{8}{y})$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y \cdot y^{2} + y (- \frac{8}{y}) = x$

Paso 3.2.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{1} y^{2} + y (- \frac{8}{y}) = x$

Paso 3.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{1 + 2} + y (- \frac{8}{y}) = x$

Paso 3.2.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$y^{3} + y (- \frac{8}{y}) = x$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y^{3} - y \frac{8}{y} = x$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.4.1.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y^{3} + y \cdot - 1 \frac{8}{y} = x$

Paso 3.2.4.1.2

Cancela el factor común.

$y^{3} + y \cdot - 1 \frac{8}{y} = x$

Paso 3.2.4.1.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} - 1 \cdot 8 = x$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$y^{3} - 8 = x$

Paso 3.3

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{3} = x + 8$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{x + 8}$

Paso 4

Replace $y$ with $s^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$

Paso 5

Verifica si $s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$ es la inversa de $s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $s^{- 1} (s (x)) = x$ y $s (s^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $s^{- 1} (s (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$s^{- 1} (s (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x}))$ mediante la sustitución del valor de $s$ en $s^{- 1}$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{(x (x^{2} - \frac{8}{x})) + 8}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

Paso 5.2.4

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

Paso 5.2.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

Paso 5.2.4.2

Suma $1$ y $2$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

Paso 5.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} - x \frac{8}{x} + 8}$

Paso 5.2.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.6.1.1

Factoriza $x$ de $- x$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot (- 1 \frac{8}{x}) + 8}$

Paso 5.2.6.1.2

Cancela el factor común.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot (- 1 \frac{8}{x}) + 8}$

Paso 5.2.6.1.3

Reescribe la expresión.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 \cdot 8 + 8}$

Paso 5.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} - 8 + 8}$

Paso 5.2.7

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.7.1

Suma $- 8$ y $8$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Paso 5.2.7.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 5.2.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = x$

Paso 5.3

Evalúa $s (s^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$s (s^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $s (\sqrt[3]{x + 8})$ mediante la sustitución del valor de $s^{- 1}$ en $s$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = (\sqrt[3]{x + 8}) ({(\sqrt[3]{x + 8})}^{2} - \frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}})$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Reescribe ${\sqrt[3]{x + 8}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}})$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $\frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - (\frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}))$

Paso 5.3.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}})$

Paso 5.3.3.3.2

Eleva $\sqrt[3]{x + 8}$ a la potencia de $1$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}})$

Paso 5.3.3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{1 + 2}})$

Paso 5.3.3.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{3}})$

Paso 5.3.3.3.5

Reescribe ${\sqrt[3]{x + 8}}^{3}$ como $x + 8$ .

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Paso 5.3.3.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 8}$ como ${(x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{({(x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Paso 5.3.3.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{(x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Paso 5.3.3.3.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}})$

Paso 5.3.3.3.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}})$

Paso 5.3.3.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{x + 8})$

Paso 5.3.3.3.5.5

Simplifica.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{x + 8})$

Paso 5.3.3.4

Reescribe ${\sqrt[3]{x + 8}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}}{x + 8})$

Paso 5.3.4

Para escribir $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8)}{x + 8} - \frac{8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}}{x + 8})$

Paso 5.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) - 8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}}{x + 8})$

Paso 5.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ de $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) - 8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ .

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Paso 5.3.6.1.1

Factoriza $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ de $- 8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) + \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} \cdot - 8}{x + 8})$

Paso 5.3.6.1.2

Factoriza $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ de $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) + \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} \cdot - 8$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8 - 8)}{x + 8})$

Paso 5.3.6.2

Resta $8$ de $8$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 0)}{x + 8})$

Paso 5.3.6.3

Suma $x$ y $0$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x}{x + 8})$

Paso 5.3.7

Multiplica $\sqrt[3]{x + 8} \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x}{x + 8}$ .

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Paso 5.3.7.1

Combina $\sqrt[3]{x + 8}$ y $\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x}{x + 8}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x)}{x + 8}$

Paso 5.3.7.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2} (x + 8)} x}{x + 8}$

Paso 5.3.7.3

Multiplica ${(x + 8)}^{2}$ por $x + 8$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.7.3.1

Multiplica ${(x + 8)}^{2}$ por $x + 8$ .

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Paso 5.3.7.3.1.1

Eleva $x + 8$ a la potencia de $1$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2} (x + 8)} x}{x + 8}$

Paso 5.3.7.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2 + 1}} x}{x + 8}$

Paso 5.3.7.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{3}} x}{x + 8}$

Paso 5.3.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{(x + 8) x}{x + 8}$

Paso 5.3.9

Cancela el factor común de $x + 8$ .

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Paso 5.3.9.1

Cancela el factor común.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{(x + 8) x}{x + 8}$

Paso 5.3.9.2

Divide $x$ por $1$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = x$

Paso 5.4

Como $s^{- 1} (s (x)) = x$ y $s (s^{- 1} (x)) = x$ , entonces $s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$ es la inversa de $s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$ .

$s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$